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逸珺 · 2020年04月11日

手把手教你系列之IIR滤波器设计

【导读】:在嵌入式系统中经常需要采集模拟信号,采集模拟信号的信号链中难免引入干扰,那么如何滤除干扰呢?今天就来个一步一步描述如何设计部署一个IIR滤波器到你的系统。

何为IIR滤波器?

无限冲激响应(IIR: Infinite Impulse Response)是一种适用于许多线性时不变系统的属性,这些系统的特征是具有一个冲激响应h(t),该冲激响应h(t)不会在特定点上完全变为零,而是无限期地持续。 这与有限冲激响应(FIR: Finite Impulse Response)系统形成对比,在有限冲激响应(FIR)系统中,对于某个有限T,在时间t> T时,冲激响应确实恰好变为零。 线性时不变系统的常见示例是大多数电子和数字滤波器。 具有此属性的系统称为IIR系统或IIR滤波器。
这是常见的教科书式数学严谨定义,很多人看到这一下就蒙了,能说人话吗?

线性时不变系统理论俗称LTI系统理论,源自应用数学,直接在核磁共振频谱学、地震学、电路、信号处理和控制理论等技术领域运用。它研究的是线性、非时变系统对任意输入信号的响应。虽然这些系统的轨迹通常会随时间变化(例如声学波形)来测量和跟踪,但是应用到图像处理和场论时,LTI系统在空间维度上也有轨迹。因此,这些系统也被称为线性非时变平移,在最一般的范围理论给出此理论。在离散(即采样)系统中对应的术语是线性非时变平移系统。由电阻、电容、电感组成的电路是LTI系统的一个很好的例子。比如一个运放系统在一定频带范围内满足信号的时域叠加,输入一个100Hz和200Hz正弦信号,输出频率是这两种信号的线性叠加。
用数学对LTI系统描述:
image.png

这么描述还是不易懂,来个图,有图有真相:
假定一个信号放大电路对100Hz正弦信号放大2倍:
                          image.png

则输出为:
                           image.png

而对200Hz的正弦信号,其放大倍数为1.7倍。(做过运放电路设计的朋友应该有经验,在其同频带其放大倍数往往并不平坦,也即幅频响应在频带内不平坦,这是比较常见的)。
也即输入为:
                          image.png

响应为:
                           image.png
那么如果输入100Hz和200Hz的时域叠加信号,则其输入为:
                            image.png

则其响应为:
                            image.png
由这些图可看出,输入信号的形状保持不变,输出为对应输入的线性时域叠加。
对于时不变,就不用图描述了,在一个真实电路中,如果输入延迟一定时间,则响应对应延迟相同时间输出。
上面这么多文字只是为了描述在什么场合可以使用IIR滤波器对信号进行数字滤波。总结而言,就是在线性时不变系统中适用。换言之,在大多数电路系统中我们都可以尝试采用IIR滤波器进行数字滤波。
那么究竟什么是IIR滤波器呢?从数字信号处理的书籍中我们能看到这样的Z变换信号流图:
image.png

image.png表示延迟一拍,在数字系统中表示对于输入信号而言,即为上一次采样值,对于输出而言,即为上一次的输出值。
在时域中对于上述流图,用时域描述即为:
image.png
如果熟悉Z变换,则Z变换传递函数为:
image.png
上述数字滤波器,如果从编程的角度来看,x(n-1),表示上一次的信号,可能是来自ADC的上次采样,而y(n-1)则为上一次滤波器的输出值,对应就比较好理解x(n-N)就表示前第n次输入样本信号,而y(n-M)则为前第M次滤波器的输出。
说了这么多,只是为了更好的理解概念,只有概念理解正确,才能用争取。 概念理解这对工程师而言,非常之重要。

如何设计呢?

打开fdatool

MATLAB提供了非常容易使用的FDATool帮助我们设计数字滤波器,真正精彩的地方开始了,让我们拭目以待究竟如何一步一步设计并实施一个IIR滤波器。
首先打开MATLAB,在命令行中敲fdatool
image.png\![image-20200326233121867](file://C:/Users/jax/AppData/Roaming/Typora/typora-user-images/image-20200326233121867.png?lastModify=1586599239)

弹出窗体就是fdatool了,如下:
fdatool.png
在设计具体,有几个相关概念需要澄清:
Fs:采样率,单位为Hz,真实部署在系统中,请务必确保样本是按照恒定采样率进行采样,否则将得不到想要的效果。
Fpass: 通频带,单位为Hz,即系统中期望通过的最高频率。
Fstop: 截至频率,即幅频响应的-3dB处的频率,这个如不理解,请自行查阅相关书籍。
分贝dB: 这是一个无单位反应输出与输入倍数的一个术语。电学中分贝与放大倍数的转换关系为:

  • A(V)(dB)=20lg(Vo/Vi);电压增益,Vo 为输出电压,Vi为输入电压
  • A(I)(dB)=20lg(Io/Ii);电流增益,Io 为输出电流,Ii为输入电流
  • A(p)(dB)=10lg(Po/Pi);功率增益,Po 为输出功率,Pi为输入功率

滤波器类型:这里有Butterworth(巴特沃斯)、Chebyshev Type I,Chebyshev Type II、(切比雪夫)、Elipic 等可选。
image.png

  • 巴特沃斯 Butterworth,也被称作最大平坦滤波器。巴特沃斯滤波器的特点是通频带内的频率响应曲线最大限度平坦,没有纹波。
  • 切比雪夫 Chebyshev,是在通带或阻带上频率响应幅度等波纹波动的滤波器。切比雪夫滤波器在过渡带比巴特沃斯滤波器的衰减快,但频率响应的幅频特性不如后者平坦。
  • 椭圆 Elliptic,椭圆滤波器是在通带和阻带等波纹的一种滤波器。
  • ...这里就不一一介绍了,有兴趣可以去查信号处理书籍。

就其特点,这里对其中几种略作介绍:

  • 巴特沃斯具有最平坦的通带。
  • 椭圆滤波器衰减最快,但是通带、阻带都有波纹。
  • 切比雪夫滤波器衰减比巴特沃斯快,但比椭圆滤波器慢,波纹区域可选择。

假设我们需要设计一个IIR滤波器,采样率为32000Hz, 有用信号频率在2000Hz内,设计IIR滤波器对信号进行数字滤波。这里为节省算力,我们指定滤波器的阶数,也即传递函数中N/M中的最大值,一般而言N大于M。
这里指定阶数为8阶,类型指定为巴特沃斯型IIR滤波器,输入阶数8阶,采样率32000Hz,截至频率设置为2000Hz然后点击Design Filter如下图所示:
2kHzlpf.png
其相频响应曲线如下:
2kHzlpf phase.png
除此之外,我们还可以将幅频与相频曲线放在一个频率坐标上去看设计结果:
2kAmpPh.png
导出滤波器参数,这里我们选择,
exportcff.png
选择ASCII码
然后就得到了一个文件,保存2kHz_LPF.fcf,文件名随你喜欢。
文件内容如下:

 % Generated by MATLAB(R) 8.4 and the Signal Processing Toolbox 6.22.
 % Generated on: 27-Mar-2020 21:27:06
 
 % Coefficient Format: Decimal
 
 % Discrete-Time IIR Filter (real)
 % -------------------------------
 % Filter Structure    : Direct-Form II, Second-Order Sections
 % Number of Sections  : 4
 % Stable              : Yes
 % Linear Phase        : No
 

 SOS Matrix:
 1  2  1  1  -1.7193929141691948  0.8610574795347461
 1  2  1  1  -1.5237898734101736  0.64933827386370635
 1  2  1  1  -1.4017399331200424  0.51723237044751591
 1  2  1  1  -1.3435020629061745  0.45419615396638446

 Scale Values:
 0.035416141341387819
 0.031387100113383172
 0.028873109331868367
 0.027673522765052503

至此设计工作就结束了,马上进入滤波器的部署测试阶段。

部署测试滤波器

到这里,没有经验的朋友可能会说,这么一堆参数我该咋用呢?

需要自己去写前面描述的计算公式吗?当然你也可以这么做,这里就不写了\,ARM的CMSIS库已经帮大家设计好了种类繁多的数字信号处理函数实现了,而且经过了测试,这里直接拿来用即可。有兴趣自己写也不难,只要理解Z传递函数概念内涵,非常容易实现。这里我们采用32位浮点实现函数:arm\_biquad\_cascade\_df1\_f32。
该函数位于:CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm\_biquad\_cascade\_df1\_init\_f32.c中
以及CMSIS\DSP\Source\FilteringFunctions\arm\_biquad\_cascade\_df1\_f32.c
我们来看一看这个函数:
arm\_biquad\_cascade\_df1\_init\_f32.c:

 /*
 *作用      :初始化滤波器
 *S        :指向浮点SOS级联结构的实例。
 *numStages:滤波器中二阶SOS的数量
 *pCoeffs  :滤波器参数指针,参数按下列顺序存储
 *          {b10, b11, b12, a11, a12, b20, b21, b22, a21, a22, ...}
 *pState   :历史状态缓冲区指针
 */
 void arm_biquad_cascade_df1_init_f32(
         arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
         uint8_t numStages,
   const float32_t * pCoeffs,
         float32_t * pState)
 {
   /* Assign filter stages */
   S->numStages = numStages;
 
   /* Assign coefficient pointer */
   S->pCoeffs = pCoeffs;
 
   /* Clear state buffer and size is always 4 * numStages */
   memset(pState, 0, (4U * (uint32_t) numStages) * sizeof(float32_t));
 
   /* Assign state pointer */
   S->pState = pState;
 }

arm\_math.h 定义了须用到的结构体,对于本例相关的结构体为arm\_biquad\_casd\_df1\_inst\_f32

 typedef struct
 {
   unsigned int numStages; /*2阶节的个数,应为2*numStages.        */
   float *pState;          /*状态系数数组指针,数组长度为4*numStages*/
   float *pCoeffs;         /*系数数组指针, 数组的长度为5*numStages.*/
 } arm_biquad_casd_df1_inst_f32;

滤波器具体滤波函数为arm\_biquad\_cascade\_df1\_f32

 /**
  *  *S       :指向浮点Biquad级联结构的实例.
  *  *pSrc    :指向输入数据块。
  *  *pDst    :指向输出数据块。
  *  blockSize:每次调用要处理的样本数。
  *  返回值    :无.
  */
 void arm_biquad_cascade_df1_f32(
   const arm_biquad_casd_df1_inst_f32 * S,
   float * pSrc,
   float * pDst,
   unsigned int blockSize)
 {
   float *pIn = pSrc;                         /*源指针     */
   float *pOut = pDst;                        /*目的指针    */
   float *pState = S->pState;                 /*状态指针    */
   float *pCoeffs = S->pCoeffs;               /*参数指针    */
   float acc;                                 /*累加器      */
   float b0, b1, b2, a1, a2;                  /*滤波器参数   */
   float Xn1, Xn2, Yn1, Yn2;                  /*滤波器状态变量*/
   float Xn;                                  /*临时输入     */
   unsigned int sample, stage = S->numStages; /*循环计数     */
 
   do
   {
     /* Reading the coefficients */
     b0 = *pCoeffs++;
     b1 = *pCoeffs++;
     b2 = *pCoeffs++;
     a1 = *pCoeffs++;
     a2 = *pCoeffs++;
 
     Xn1 = pState[0];
     Xn2 = pState[1];
     Yn1 = pState[2];
     Yn2 = pState[3];
 
     sample = blockSize >> 2u;
 
     while(sample > 0u)
     {
       /* 读第一个输入 */
       Xn = *pIn++;
 
       /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
       Yn2 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
 
       /* Store the result in the accumulator in the destination buffer. */
       *pOut++ = Yn2;
 
       /* 每次计算输出后,状态都应更新. */
       /* 状态应更新为:  */
       /* Xn2 = Xn1    */
       /* Xn1 = Xn     */
       /* Yn2 = Yn1    */
       /* Yn1 = acc   */
 
       /* Read the second input */
       Xn2 = *pIn++;
 
       /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
       Yn1 = (b0 * Xn2) + (b1 * Xn) + (b2 * Xn1) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);
 
       /* 将结果存储在目标缓冲区的累加器中. */
       *pOut++ = Yn1;
 
       /* 每次计算输出后,状态都应更新. */
       /* 状态应更新为:  */
       /* Xn2 = Xn1    */
       /* Xn1 = Xn     */
       /* Yn2 = Yn1    */
       /* Yn1 = acc   */
 
       /*读第三个输入 */
       Xn1 = *pIn++;
 
       /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
       Yn2 = (b0 * Xn1) + (b1 * Xn2) + (b2 * Xn) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
 
       /* 将结果存储在目标缓冲区的累加器中. */
       *pOut++ = Yn2;
 
       /* 每次计算输出后,状态都应更新. */
       /* 状态应更新为: */
       /* Xn2 = Xn1    */
       /* Xn1 = Xn     */
       /* Yn2 = Yn1    */
       /* Yn1 = acc   */
       /* 读第四个输入 */
       Xn = *pIn++;
 
       /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
       Yn1 = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn2) + (a2 * Yn1);
 
       /* 将结果存储在目标缓冲区的累加器中. */
       *pOut++ = Yn1;
 
       /* 每次计算输出后,状态都应更新. */
       /* 状态应更新为:  */
       /* Xn2 = Xn1    */
       /* Xn1 = Xn     */
       /* Yn2 = Yn1    */
       /* Yn1 = acc   */
       Xn2 = Xn1;
       Xn1 = Xn;
 
       /* 递减循环计数器 */
       sample--;
     }
 
     /* 如果blockSize不是4的倍数,
     *请在此处计算任何剩余的输出样本。
     *不使用循环展开. */
     sample = blockSize & 0x3u;
 
     while(sample > 0u)
     {
       /* 读取输入 */
       Xn = *pIn++;
 
       /* acc =  b0 * x[n] + b1 * x[n-1] + b2 * x[n-2] + a1 * y[n-1] + a2 * y[n-2] */
       acc = (b0 * Xn) + (b1 * Xn1) + (b2 * Xn2) + (a1 * Yn1) + (a2 * Yn2);
 
       /* 将结果存储在目标缓冲区的累加器中. */
       *pOut++ = acc;
 
       /* 每次计算输出后,状态都应更新。 */
       /* 状态应更新为:    */
       /* Xn2 = Xn1    */
       /* Xn1 = Xn     */
       /* Yn2 = Yn1    */
       /* Yn1 = acc   */
       Xn2 = Xn1;
       Xn1 = Xn;
       Yn2 = Yn1;
       Yn1 = acc;
 
       /* d递减循环计数器 */
       sample--;
     }
 
     /*  将更新后的状态变量存储回pState数组中 */
     *pState++ = Xn1;
     *pState++ = Xn2;
     *pState++ = Yn1;
     *pState++ = Yn2;
 
     /*第一阶段从输入缓冲区到输出缓冲区.     */
     /*随后的numStages在输出缓冲区中就地发生*/
     pIn = pDst;
 
     /* 重置输出指针 */
     pOut = pDst;
 
     /* 递减循环计数器 */
     stage--;
 
   } while(stage > 0u);
 }

开始测试:

 #include <stdio.h>
 #include <math.h>
 /*
 SOS Matrix:
 1  2  1  1  -1.7193929141691948  0.8610574795347461
 1  2  1  1  -1.5237898734101736  0.64933827386370635
 1  2  1  1  -1.4017399331200424  0.51723237044751591
 1  2  1  1  -1.3435020629061745  0.45419615396638446

 Scale Values:
 0.035416141341387819
 0.031387100113383172
 0.028873109331868367
 0.027673522765052503
 做如下转换:
 1.缩放
 [1  2  1] * 0.035416141341387819
 [1  2  1] * 0.031387100113383172
 [1  2  1] * 0.028873109331868367
 [1  2  1] * 0.027673522765052503
 得到:
 [0.035416141341387819  2*0.035416141341387819  0.035416141341387819]
 [0.031387100113383172  2*0.031387100113383172  0.031387100113383172] 
 [0.028873109331868367  2*0.028873109331868367  0.028873109331868367] 
 [0.027673522765052503  2*0.027673522765052503  0.027673522765052503]
 2.舍掉第四列参数
 3.将后两列分别乘以-1,即:
 0.035416141341387819  2*0.035416141341387819  0.035416141341387819  -1.7193929141691948  0.8610574795347461
 0.031387100113383172  2*0.031387100113383172  0.031387100113383172  -1.5237898734101736  0.64933827386370635
 0.028873109331868367  2*0.028873109331868367  0.028873109331868367  -1.4017399331200424  0.51723237044751591
 0.027673522765052503  2*0.027673522765052503  0.027673522765052503  -1.3435020629061745  0.45419615396638446 
 这样就得到了滤波器系数组了
 */
 #define IIR_SECTION 4                /*见前面设计输出为4个SOS块*/
 static float iir_state[4*IIR_SECTION];/*历史状态缓冲区         */
 const float iir_coeffs[5*IIR_SECTION]={
     0.035416141341387819,2*0.035416141341387819,0.035416141341387819,1.7193929141691948,-0.8610574795347461,    0.031387100113383172,2*0.031387100113383172,0.031387100113383172,1.5237898734101736,-0.64933827386370635,    0.028873109331868367,2*0.028873109331868367,0.028873109331868367,1.4017399331200424,-0.51723237044751591,    0.027673522765052503,2*0.027673522765052503,0.027673522765052503,1.3435020629061745,-0.45419615396638446
 };
 static arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
 /*假定采样512个点*/
 #define BUF_SIZE 512
 #define PI 3.1415926
 #define SAMPLE_RATE  32000 /*32000Hz*/
 int main()
 {
     float raw[BUF_SIZE];
     float raw_4k[BUF_SIZE];
     float raw_out[BUF_SIZE];
 
     float raw_noise[BUF_SIZE];
     float raw_noise_out[BUF_SIZE];
 
     arm_biquad_casd_df1_inst_f32 S;
     FILE *pFile=fopen("./simulation.csv","wt+");
     if(pFile==NULL)
     {
         printf("file opened failed");
         return -1;
     }
 
     for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
     {
     /*模拟9000Hz输入信号         */
         raw[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*800*i/32000.0f)+rand()%50;
         raw_4k[i] = 0.5*1024.0/3*sin(2*PI*4000*i/32000.0f);
     /*模拟9000Hz +11000Hz叠加输入*/
         raw_noise[i] = raw[i] + raw_4k[i];
     }
 
     arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
     arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw, raw_out, BUF_SIZE);
 
     for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
     {
        fprintf(pFile,"%f,",raw[i]);
     }
 
     fprintf(pFile,"\n");
     for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
     {
         fprintf(pFile,"%f,",raw_4k[i]);
     }
     fprintf(pFile,"\n");
     for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
     {
         fprintf(pFile,"%f,",raw_out[i]);
     }
 
     /*重新初始化*/
     arm_biquad_cascade_df1_init_f32(&S, IIR_SECTION, (float *)&iir_coeffs[0], (float *)&iir_state[0]);
     arm_biquad_cascade_df1_f32(&S, raw_noise, raw_noise_out, BUF_SIZE);
 
     fprintf(pFile,"\n");
     for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
     {
         fprintf(pFile,"%f,",raw_noise[i]);
     }
 
     fprintf(pFile,"\n");
     for(int i=0;i<BUF_SIZE;i++)
     {
         fprintf(pFile,"%f,",raw_noise_out[i]);
     }
 
     fclose(pFile);
 
     return 0;
 }

利用csv文件,将模拟数据存储,直接用excel打开,将行数据生成曲线图如下:
image.png
image.png
image.png
image.png
image.png

  • 第一幅图,为800Hz信号混入随机噪声的波形
  • 第二幅图,为4000Hz信号,对假定系统为无用干扰信号
  • 第三幅图, 为800Hz 混入随机噪声过滤后,已经很好的还原有用信号频率
  • 第四幅图, 为800Hz信号混入随机噪声,同时叠加4000Hz干扰的波形,对系统而言,从时域中,明显可见,有用信号已经完全扭曲
  • 第五幅图,为800Hz信号混入随机噪声,同时叠加4000Hz干扰的输入,经过该低通滤波器后的波形,与第三幅图基本一样,已经非常好的滤除了干扰信号。

总结

  • IIR滤波器在线性时不变系统中可以很好的解决工程中一般噪声问题
  • 如果需要设计带通、高通滤波器其步骤基本类似,只是滤波器的参数以及SOS块个数可能不一样而已
  • 需要提醒的时,IIR的相频响应不线性,如果系统对相频响应有严格要求,就需要采用其他的数字滤波器拓扑形式了
  • 实际应用中,如果阶数不高时,现在算力强劲的单片机或者DSP以及可以直接使用浮点处理。如果对处理速度有严格的实时要求,需要在极短时间进行滤波处理,可以考虑降低阶数,或采用定点IIR滤波算法实现。也或者将文中函数进行汇编级优化。

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