在上一篇中，我们梳理了规范浮点数的计算规则。不过，浮点数不只有规范数一类编码，还包括NaN、无穷大和非规范数这样的特殊值。对于特殊值的处理，规则非常繁琐而且实现代价不小。对于Arm架构尤其如此，主要原因有两点：

1. 为了与其他架构（主要是x86架构）兼容，Arm提供了两种模型对于特殊值进行处理，即FEAT_AFP特性。这样做可以直接获得与其他架构相同的浮点数计算结果，而不需要软件额外处理。但是使得硬件实现难度很大。
2. Arm对于浮点数的扩展通过多个扩展集逐步增加。FEAT_FP只包含FP64和FP32两种浮点格式，对于FP16、BF16和FP8格式的支持则分别通过FEAT_FP16、FEAT_BF16和FEAT_FP8等扩展集实现。这使得不同浮点格式对于特殊值的处理规则不同。这样做虽然可以简化硬件设计，但是增加了学习成本。

对于浮点特殊值的处理，包括下面三个要点：

• 如果输入和输出是非规范数，可以选择清零非规范数。
• 如果输入是NaN，那么根据输入NaN产生输出NaN，称为NaN广播（NaN propagation）。
• 如果输入是无穷大或零，则可能产生无穷大、零或者NaN。

预警：本篇充满了枯燥的规则和支离破碎的细节，建议配合零食快乐水食用。

清零非规范数

在IEEE-754标准中，非规范数也是作为数值参与计算的。处理非规范数比处理规范数会增加一些步骤。在计算处理前，需要根据尾数部分中前导零的数量，调整指数和尾数，使得尾数也是与规范数的尾数对齐的定点数格式。这样的调整还会使得指数部分出现负数。类似地，处理完成后，如果输出结果是非规范数，还需要调整尾数来对齐指数到0。

在很多算法和应用中，将非规范数直接当作零处理，不会引入明显的误差，但是可能减少处理的复杂度，从而获得更快的运算速度。因此，Arm架构引入了非规范数清零机制，分为清零非规范数输入和清零非规范数输出。X86架构同样引入了清零非规范数机制，称为Flush-To-Zero和Denormals-Are-Zeros。

注意：非规范数清零与IEEE-754标准并不兼容，在IEEE-754中完全没有相关的定义或建议。如果严格要求计算结果与IEEE-754兼容时，不能使用非规范数清零机制。

FPCR寄存器中有三个比特与非规范数清零机制的控制有关：FPCR.FZ、FPCR.FZ16和FPCR.FIZ。只有在AArch64状态而且实现了FEAT_AFP的情况下，FPCR.FIZ的有效值才会对浮点计算行为产生影响，但是不要求使能FEAT_AFP。

清零非规范数的控制和行为

FPCR.FZ、FPCR.FZ16和FPCR.FIZ都会控制清零非规范数输入的行为。

不服从这三个比特控制的情况：

• FABS和FNEG指令不会将非规范数的输入和输出清零。FABS和FNEG直接操作符号位，不关心其他位置。
• FMAX{P|V}、FMIN{P|V}、BFMAX和BFMIN不会清除非规范输出。因为这些指令的结果与输入操作数之一是相同的。如果没有清零非规范数输入，那么也不需要清除非规范数输出；如果清除了非规范数输出，那么结果就不会是非规范数。
• 当FPCR.AH=1时，FRECPE、FRECPS、FRECPX、FRSQRTE和FRSQRTS指令总是清除非规范输入和输出，就好像FPCR.{FZ, FIZ}全是1。
• 当FPCR.AH=1时，BFCVT{N|N2|NT}指令以及BFML[A|S]L{B|T}指令总是清除非规范输入和输出，就好像FPCR.{FZ, FIZ}全是1。
• 当FPCR.EBF=0时，BFDOT、BFVDOT、BFMMLA和BFMOP[A|S]指令总是清除非规范数输入、输出以及中间结果，就好像FPCR.{FZ, FIZ}全是1。
• FP8指令不会将非规范数的输入和输出清零，就好像FPCR.{FZ, FIZ, FZ16}全是0。

清零非规范数可能会触发非规范数输入异常（IDC），在下一篇中介绍浮点异常。

无穷大、零和NaN特殊值的规则

如果指令的输入是无穷大、零或NaN，则需要按照特定的规则产生输出。不同的指令适用不同的规则。

算数计算指令产生特殊值的规则

算数计算指令的处理过程，可以分为以下步骤（伪代码可以参阅Arm A-profile A64 Instruction Set Architecture中的FPADD）：

• 如果使能，将输入非规范数清零。
• 如果输入中有NaN，根据NaN传播规则派生结果。如果派生出NaN，则直接返回，不再继续进行操作。
• 如果输入中有无穷大或零，则根据计算条件检查无效操作的条件。如果条件满足，则返回NaN并且发出IOE异常，不再继续进行操作。
• 检查生成无穷大的条件。如果条件满足，则返回无穷大，可能会产生DZE异常，不再继续进行操作。
• 检查生成零的条件。如果条件满足，则返回零，不再继续进行操作。
• 如果上面三组条件都成立，则按照无限范围和精度进行操作，并且舍入到目标格式。舍入过程可能产生无穷大、非规范数或零。
• 如果使能FPCR.AH，则检查是否触发IDE。

产生NaN的条件

虽然输入没有NaN，但是无法从数学上得出有效的结果，那么浮点操作产生qNaN。在Arm结构中，选择默认NaN作为返回结果。这通常标识计算无效，同时触发IOE异常。

• 加法：(+inf)+(-inf)=defaultNaN；(-inf)+(+inf)=defaultNaN
• 减法：(+inf)-(+inf)=defaultNaN；(-inf)-(-inf)=defaultNaN
• 乘法：inf0=defaultNaN；0inf=defaultNaN
• 除法：inf/inf=defaultNaN；0/0=defaultNaN
• 融合乘加：乘法的输入满足产生NaN的条件，产生默认NaN；加法的输入（累加数和乘积）满足产生NaN的条件，产生默认NaN。
• 规约加法：任意两个输入都是无穷大，而且两个输入符号相反，产生默认NaN。
• 规约乘加：任意一对乘法的输入满足产生NaN的条件，产生默认NaN；规约加法的输入（累加数和所有乘积）满足产生NaN的条件，产生默认NaN。
• 开方倒数和开方：x<0时，产生defaultNaN。
• 倒数和缩放：不会生成NaN。

产生无穷大的条件

产生无穷大的规则如下。

• 加法：

  • (+inf)+y=+inf，y不是负无穷大（规范数、非规范数或正无穷大）
  • x+(+inf)=+inf，x不是负无穷大（规范数、非规范数或正无穷大）
  • (-inf)+y=-inf，y不是正无穷大（规范数、非规范数或负无穷大）
  • x+(-inf)=-inf，y不是正无穷大（规范数、非规范数或负无穷大）

• 减法：

  • (+inf)-y=+inf，y不是正无穷大（规范数、非规范数或负无穷大）
  • x-(-inf)=+inf，x不是负无穷大（规范数、非规范数或负无穷大）
  • (-inf)-y=-inf，y不是负无穷大（规范数、非规范数或正无穷大）
  • x-(+inf)=-inf，x不是正无穷大（规范数、非规范数或负无穷大）

• 乘法：结果符号是两个输入的符号异或

  • inf*y=inf，y不是零或无穷大（规范数、非规范数）
  • x*inf=inf，x不是零或无穷大（规范数、非规范数）
  • inf*inf=inf

• 除法：结果符号是两个输入的符号异或。只有第二个输入是0时，产生DZE异常。

  • inf/y=inf，y不是零或无穷大（规范数、非规范数）
  • x/0=inf，x不是零或无穷大（规范数、非规范数）
  • inf/0=inf
• 融合乘加：首先，根据乘法的计算规则判断乘积的值（无穷大或零）；然后，加法的输入（累加数和乘积）满足产生无穷大的条件。按照加法的规则产生无穷大。
• 规约加法：输入之一是正无穷大，其他输入都不是负无穷大，产生正无穷大；输入之一是负无穷大，其他输入都不是正无穷大，产生负无穷大。
• 规约乘加：根据乘法的计算规则判断所有乘积的值（无穷大或零）；规约加法的输入（累加数和所有乘积）满足产生无穷大的条件。按照规约加法的规则产生无穷大。
• 开方倒数：rsqrt(+0)=+inf；rsqrt(-0)=-inf。
• 开方：sqrt(+inf)=+inf。
• 倒数：1/0=inf。结果符号与输入相同。产生DZE异常。
• 缩放：scale(inf,N)=inf。结果符号与输入相同。

对于除法、倒数和开方倒数操作，如果第二个输入（除数）是零，而且第一个输入（被除数）不是零，那么认为结果是无穷大的，并且触发DZE异常。

产生零的条件

产生零的规则如下。

• 加法：(+0)+(+0)=+0；(-0)+(-0)=-0。
• 减法：(+0)-(-0)=+0；(-0)-(+0)=-0。

• 乘法：结果符号是两个输入的符号异或

  • 0*y=0，y不是零或无穷大（规范数、非规范数）
  • x*0=0，x不是零或无穷大（规范数、非规范数）
  • 0*0=0

• 除法：结果符号是两个输入的符号异或。只有第二个输入是0时，产生DZE异常。

  • 0/y=inf，y不是零或无穷大（规范数、非规范数）
  • x/inf=0，x不是零或无穷大（规范数、非规范数）
  • 0/inf=0
• 融合乘加：首先，根据乘法的计算规则判断乘积的值（无穷大或零）；然后加法的输入（累加数和乘积）满足产生零的条件。按照加法的规则产生零。
• 规约加法：所有输入都是零，且所有输入符号相同，产生与输入符号相同的零。
• 规约乘加：根据乘法的计算规则判断所有乘积的值（无穷大或零）；规约加法的输入（累加数和所有乘积）满足产生零的条件。按照规约加法的规则产生零。
• 开方倒数：rsqrt(+inf)=+0。
• 开方：sqrt(+0)=+0；sqrt(-0)=-0。
• 倒数：1/inf=0。结果符号与输入相同。
• 缩放：scale(0,N)=0。结果符号与输入相同。

NaN广播

当浮点操作的输入中存在NaN时，浮点操作的结果是从输入的NaN派生出的静默NaN。在IEEE-754中没有规定选择哪一个NaN来派生静默NaN。Arm架构中提供了两套规则来确定从哪个输入NaN派生结果NaN。

• 如果FPCR.AH=0，按照从左至右的顺序检查指令的输入。

  • 如果输入中存在信号NaN，则从第一个信号NaN派生出的静默NaN。
  • 如果输入中不存在信号NaN，则从第一个NaN派生出的静默NaN。

• 如果FPCR.AH=1，

  • 如果操作具有两个浮点输入，而且其中只有一个NaN输入，那么从这个NaN操作数派生出静默NaN。
  • 如果操作具有两个浮点输入，而且具有两个NaN输入，那么从第一个输入派生静默NaN。

  • 如果操作是具有三个浮点输入的乘累加和乘累减操作，

    • 如果三个输入都是NaN，或者两个输入是NaN且乘法的第一个输入是NaN，那么这个NaN派生静默NaN。
    • 如果有两个输入是NaN且乘法的第一个输入不是NaN，那么从乘法的第二个输入派生静默NaN。

FPCR.DN控制如何从选择的输入NaN派生出结果NaN。

• 如果FPCR.DN=0，那么根据选择的NaN派生静默NaN：

  • 如果输入和输出格式相同，那么将尾数最高位置1。
  • 如果输出格式比输入格式宽，那么将尾数最高位置1，并且给尾数补零以匹配输出格式。
  • 如果输出格式比输入格式窄，那么将尾数最高位置1，并且截断尾数以匹配输出格式。
• 如果FPCR.DN=1，那么直接返回默认NaN。

以下指令不受FPCR.DN控制：

• 所有FP8指令总是按照FPCR.DN=1行为。
• BFloat16指令BFDOT、BFVDOT、BFMMLA、BFMOP[A|S]总是按照FPCR.DN=1行为。

静默NaN和信号NaN

虽然在第一篇中就介绍了sNaN和qNaN，但是直到这里我们才能比较清晰地解释qNaN和sNaN的区别和使用。

按照IEEE-754标准的设想，NaN的尾数部分是用来传递一些软硬件实现所需要的信息的。软硬件可以在尾数部分填入特定的编码，从而方便定位运行过程出现的错误。因此，NaN不是一个值，而是一个编码区间。

IEEE-754标准没有定义尾数部分的编码方式，但是对尾数的最高位进行了定义，即sNaN和qNaN。并且规定，当浮点操作的输入之一是sNaN时，浮点操作会触发IOE异常；当浮点操作的输入之一是qNaN，但是没有sNaN时，浮点操作不需要触发IOE异常。显而易见，sNaN可以用来上报输入的错误。

另一方面，浮点操作不会产生sNaN。在前面列出的产生NaN的规则中，浮点操作返回的都是默认NaN，也都是NaN（FP8 E4M3除外）。同时，按照NaN传播的规则，所有的输入sNaN都会被派生成qNaN。这就保证了上一条浮点操作的结果，不会在下一条浮点操作触发异常。

综上，可以得出这样的结论：sNaN只能作为在一串浮点操作的输入出现，所有的中间结果和最终的结果都只能出现qNaN。

舍入过程产生无穷大或零

如果无限范围和精度的计算结果就是精确的零，那么根据舍入方式确定符号：

• 如果舍入方式是RM，那么产生负零，此外都产生正零。

如果无限范围和精度的计算结果不是零，那么需要将结果舍入到目标格式。此时，可能根据格式转换指令的规则产生无穷大或零。

如果输出是非规范数，那么FPCR.FZ可以控制将非规范数清零，这也会产生零作为结果。

ABS和NEG指令产生特殊值的规则

FABS和FNEG指令只会处理符号位，对于输入的数值并不关心。如果输入是零、无穷大或NaN，那么输出也是零、无穷大或NaN，但是符号位可能不同。FABS结果的符号固定为0；FNEG结果的符号是输入符号取反。这可能是唯一一个浮点指令返回sNaN的情况。

不过，当FPCR.AH=1时，FABS和FNEG指令会保持NaN的符号位不变。此外，零和无穷大的符号还是按照操作功能变化。因此，当FPCR.AH=1时，FABS和FNEG指令只能用来操作DP/SP/HP，不能扩展到BFloat16格式。

最大值/最小值指令产生特殊值的规则

最大值和最小值函数返回的是输入本身，不产生新的数，因此对于特殊值的处理方式与算数指令的处理过程不同。

对于FMAX/FMIN和BFMAX/BFMIN指令：

• 当FPCR.AH=0时，

  • 如果两个输入都是零，那么正零大于负零。

  • 如果输入之一是NaN，

    • 如果FPCR.DN=0，结果是由输入NaN派生的qNaN；
    • 如果FPCR.DN=1，结果是默认NaN。

• 当FPCR.AH=1时，

  • 如果两个输入都是零，那么不管输入的符号关系，总是选择第二个输入。
  • 如果任一输入是NaN，不管FPCR.DN，总是选择第二个输入。同时触发无效操作异常（IOE）。

对于FMAXNM/FMINNM、BFMAXNM/BFMINNM、FCLAMP和BFCLAMP指令，行为不受FPCR.AH控制。

• 如果两个输入都是零，那么正零大于负零。
• 如果一个输入是qNaN，另一个输入是不是NaN，那么结果是非NaN的输入。

• 如果一个输入是sNaN，或两个元素都是NaN：

  • 如果FPCR.DN=0，结果是由输入NaN派生的qNaN；
  • 如果FPCR.DN=1，结果是默认NaN。

转换指令产生特殊值的规则

转换指令只有一个输入，所以规则会简化很多。

• 如果输入是NaN，那么输出受FPCR.DN控制。
• 如果输入是无穷大，那么输出是无穷大。
• 如果输入是零，那么输出是零。
• 如果输入是规范数和非规范数，则需要将输入格式舍入到目标格式。

算数指令也计算出一个无限范围和精度的结果，然后舍入到目标格式。算数指令和转换指令的舍入共享相同的规则。Arm A-profile A64 Instruction Set Architecture中的FpRoundBase是Arm中最常用的舍入伪代码，是Arm-ARM中最长的几个伪代码函数之一。

使能或禁用FEAT_AFP时，可以将上面的伪代码拆分出如下流程：

显而易见，FEAT_AFP对于下溢出检测的位置不同。 当FPCR.AH=0时，在舍入前进行下溢出检查；当FPCR.AH=1时，在舍入后进行下溢出检查。

此外，从伪代码细节上可以发现，当FPCR.AH=0时，计算的指数最小值就是0；当FPCR.AH=1时，计算的指数可能为负数。这会导致一些特定输入的计算结果不同。

比较指令对于无穷大、零和NaN的处理

比较指令直接设置NZCV标志，不产生数值结果，也不会产生无穷大、零和NaN这些特殊值。当无穷大和NaN参与比较时，不同的谓词会采取不同的处理方式。

• 比较NE/EQ/GE/GT：

  • 如果输入之一是NaN（包括qNaN或sNaN），比较结果为NE。

    • 对于NE和EQ，如果输入之一是sNaN，触发IOE异常。
    • 对于GE和GT，如果输入之一是sNaN或qNaN，就会触发IOE异常。

  • 如果输入存在无穷大或零，直接比较数值。

    • 无穷大也作为一个数值参与比较。如果两个输入都是正无穷大或负无穷大，认为结果是EQ。

• 比较UN：

  • 如果输入之一是sNaN，触发IOE异常。
  • 如果输入之一是NaN，比较结果为真。

上一篇：Arm浮点特性（三）浮点数运算操作
下一篇：