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线性判别分析，英文名称Linear Discriminant Analysis(LDA)是一种经典的线性学习方法。本文针对二分类问题，从直观理解，对其数学建模，之后模型求解，再拓展到多分类问题。
大体思想
给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影点尽可能接近、异类样例的投影点尽可能远离；在对新样本进行分类时，将其投影到同样的这条直线上，再根据投影点的位置来确定新样本的类别。
数学原理
道理是这么个道理，我们现在需要在数学上对其进行分析。我们接下来先建立求解上述问题的数学模型，之后再求解。
数学模型建立
那我们怎么从数学上去实现上述的思想呢？这里我们以二分类为例，对其展开叙述：
给定数据集$D=\{(x_{i},y_{i})\}_{i=1}^{m}$，$y_{i} \in \{0,1\}$，令$X_{i}$、$\mu_{i}$、$\sum_{i}$分别表示第$i \in \{0,1\}$类示例的集合、均值向量、协方差矩阵。
如果将样本投影到直线$w$上，那么样本所对应的均值和方差也将做一个线性变换，也即是投影之后的均值和方差。依据投影的数学关系，我们可以知道，原始样本的均值在$w$上的投影为$w^{T}\mu_{i}$ ；原始样本的协方差在$w$上的投影为$w^{T}\sum_{i}w$；由于直线在一维空间上，所以$w^{T}\mu_{0}$、$w^{T}\mu_{1}$、$w^{T}\sum_{0}w$、$w^{T}\sum_{1}w$均为实数。
- 让同类样本的投影点尽可能接近这句话在数学上就可以表示为，让同类样本的协方差尽可能地小。即$w^{T}\sum_{0}w$ + $w^{T}\sum_{1}w$尽可能地小；
- 让异类样本投影点尽可能地远离，所表示的意思就是，让两类样本的均值之间的距离尽可能地大。即$||w^{T}\mu_{0}-w^{T}\mu_{1}||_{2}^{2}$尽可能大。
综合以上两点，组合一个最大化的目标函数$J$：
$$ J=\frac{||w^{T}\mu_{0}-w^{T}\mu_{1}||_{2}^{2}}{w^{T}\sum_{0}w+w^{T}\sum_{1}w} \\ =\frac{w^{T}(\mu_{0}-\mu_{1})(\mu_{0}-\mu_{1})^{T}w}{w^{T}(\sum_{0}+\sum_{1})w} $$
这个式子看起来符号有点多，我们将其化简一下，定义两个量：类内散度矩阵和类间散度矩阵：
- 类内散度矩阵(within-class scatter matrix)：
定义类内散度矩阵$S_{w}=\sum_{0}+\sum_{1}$将其展开可得：
$$ =\sum_{x\in X_{0}}(x-\mu_{0})(x-\mu_{0})^{T}+\sum_{x\in X_{1}}(x-\mu_{1})(x-\mu_{1})^{T} $$
- 类间散度矩阵(between-class scatter matrix)：
定义类间散度矩阵$S_{b}=(\mu_{0}-\mu_{1})(\mu_{0}-\mu_{1})^{T}$。
此时，最大化的目标函数$J$可重写为：
$$ J = \frac{w^{T}S_{b}w}{w^{T}S_{w}w} $$
把上式称为$S_{b}$与$S_{w}$的广义瑞利商(generalized rayleigh quotient)。
数学模型求解
现在的问题就变成了，我们怎么来求这个投影方向$w$，使得目标函数最大。
优化目标函数$J$的分子和分母都是关于$w$的二次项，因此求解最大化$J$与$w$的长度无关，只与其方向有关。那么我们将分母约束为1，将原问题转换为带有约束的最优化问题，再利用拉格朗日乘子法对其求解即可，原问题等价为：
$$ min_{w} \ \ -w^{T}S_{b}w $$
$$ s.t. \ \ w^{T}S_{w}w =1 $$
由拉格朗日乘子法可知，上式等价于：
$$ S_{b}w=\lambda S_{w}w $$
其中$\lambda$是拉格朗日乘子。由于$(\mu_{0}-\mu_{1})^{T}w$是标量，所以$S_{b}w$的方向恒为$\mu_{0}-\mu_{1}$，不妨令：
$$ S_{b}w=\lambda(\mu_{0}-\mu_{1}) $$
这里之所以可以令参数为$\lambda$，是因为整个问题我们都在求解方向，且$S_{b}w$的方向恒为$\mu_{0}-\mu_{1}$，所以长度设置怎么好算怎么来。将$S_{b}w=\lambda(\mu_{0}-\mu_{1})$带入$S_{b}w=\lambda S_{w}w$可得：
$$ w=S_{w}^{-1}(\mu_{0}-\mu_{1}) $$
到这里投影方向$w$的求解就完事了。但上述解涉及到求逆矩阵，考虑数值解的稳定性，实践过程中通常将$S_{w}$进行奇异值分解。$S_{w}=U\sum V$，这里$\sum$是一个实对角矩阵，其对角线上的元素是$S_{w}$的奇异值，再求解，得出$S_{w}^{-1}=V \sum^{-1} U^{-1}$。
LDA推广到多分类
将$LDA$推广到多分类问题中，假定存在$N$类，且第$i$类示例数为$m_{i}$。定义“全局散度矩阵”$S_{t}$：
$$ S_{t}=S_{b}+S_{w} \\ = \sum_{i=1}^{m}(x_{i}-\mu)(x_{i}-\mu)^{T} $$
$\mu$是所有样本的均值向量。
将类内散度矩阵$S_{w}$重定义为每个类别的散度矩阵之和：
$$ S_{w}=\sum_{i=1}^{N}S_{w_{i}} $$
其中：
$$ S_{w_{i}}=\sum_{x \in X_{i}}(x-\mu_{i})(x-\mu_{i})^{T} $$
由此可求解出$S_{b}$：
$$ S_{b}=S_{t}-S_{w} \\ = \sum_{i=1}^{N}m_{i}(\mu_{i}-\mu)(\mu_{i}-\mu) $$
用$S_{b}$，$S_{w}$，$S_{t}$三者中的任意两者都能够构造优化目标。常见的一种构造如下所示：
$$ max_{W}\frac{tr(W^{T}S_{b}W)}{tr(W^{T}S_{w}W)} $$
其中$W \in R^{d \times (N-1)}$，$tr(·)$表示矩阵的迹(trace)。上式通过广义特征值问题求解：
$$ S_{b}W=\lambda S_{w}W $$
$W$的闭式解为$S_{w}^{-1}S_{b}$的$d^{'}$个最大广义特征值所对应的特征向量组成的矩阵，$d^{'} \leq N-1$。
若将$W$视为一个投影矩阵，则多分类$LDA$将样本投影到$d^{'}$维空间，$d^{'}$通常小于原有属性数$d$。于是，可通过这个投影来减少样本点的维数，且投影过程中使用了类别信息，因此$LDA$也常被视为经典的监督降维技术。
与PCA降维不同LDA降维会保留类的区分信息。在LDA二分类中，第一类的均值与第二类的均值如果重叠在一起，将会找不到投影方向。PCA与LDA并没有某一种比另外一种更好的这种说法。
本文主要参考书目，周志华机器学习。以前都没发现这书居然写地这么好。emmmm。
