上一节我们说了马尔可夫决策过程，它是对完全可观测的环境进行描述的，也就是观测到的内容完整决定了决策所需要的特征。马尔可夫决策过程可以用方程组求解简单问题，但是对于复杂一点的问题，一般通过迭代的思想对其进行求解。动态规划是非常有效的求解马尔可夫决策过程的方法。
动态规划初步理解
动态规划求解的大体思想可分为两种：1. 在已知模型的基础之上判断策略的价值函数，并在此基础上寻找最优的策略和最优的价值函数。这种方法我们通常称其为值迭代；2. 或者直接寻找最优策略和最优价值函数，这种方法称为策略迭代。
什么是动态规划
- 动态规划算法，是解决复杂问题的一个方法，将复杂问题分解为子问题，通过求解子问题来得到整个问题的解。
- 在解决子问题的时候，其结果通常需要存储起来，用来解决后续复杂的问题。
什么样的问题，可以考虑使用动态规划来求解
- 一个复杂问题的最优解由数个小问题的最优解构成，可以通过寻找子问题的最优解来得到复杂问题的最优解；
- 子问题在复杂问题内重复出现，使得子问题的解可以被存储起来重复利用。
马尔可夫决策过程(MDP)具有上述两个属性：
贝尔曼方程把问题递归为求解子问题，价值函数就相当于存储了一些子问题的解，可以复用，因此可以使用动态规划来求解MDP。
这一节是整个强化学习内容的核心入门知识点。
如何使用动态规划求解
动态规划算法是用来求解一类被称为规划的问题。规划指的是，在了解整个马尔可夫决策模型的基础上来，求解最优策略。也就是在已知模型结构的基础上(包括状态-动作空间转移概率和奖励函数)，求解最优策略。
主要是预测(prediction)和控制(control)：
- Prediction：
预测是指：给定一个MDP和策略$\pi$，要求输出基于当前策略$\pi$的价值函数。具体的数学描述为：给定一个MDP $\langle\mathcal{S}, \mathcal{A},\mathcal{P}, \mathcal{R}, \mathcal{\gamma}\rangle$和一个策略$\pi$，或者给定一个MRP $\langle\mathcal{S}, \mathcal{P}, \mathcal{R}, \mathcal{\gamma}\rangle$，要求输出基于当前策略的value function $v_{\pi}$。
- Control：
控制是指：给定一个MDP，要求确定最优价值函数和最优策略。给定一个MDP，要求确定最优价值函数和最优策略。具体的数学描述为：输入一个MDP $\langle\mathcal{S}, \mathcal{A},\mathcal{P}, \mathcal{R}, \mathcal{\gamma}\rangle$，输出optimal value function $v_{*}$ 和 optimal policy $\pi_{*}$。
策略评估
那迭代法策略评估如何求解呢？策略评估(Policy Evaluation)指的是求解给定的策略下的值函数，也就是预测当前策略下所能拿到的值函数问题。把这个计算当前的状态值函数的过程，称为--策略评估(Policy Evaluation)。解决方案是应用Bellman期望方程进行迭代。
具体方法：在$k+1$次迭代中，使用$v_{k}(s^{\prime})$更新计算$v_{k+1}(s)$，其中$s^{\prime}$是$s$的后继状态，此种方法通过反复迭代最终将收敛$v_{\pi}$。
其数学语言描述如下：
$$ \begin{aligned} v_{k+1}(s) &=\sum_{a \in \mathcal{A}} \pi(a | s)\left(\mathcal{R}_{s}^{a}+\gamma \sum_{s^{\prime} \in S} \mathcal{P}_{s s^{\prime}}^{a} v_{k}\left(s^{\prime}\right)\right) \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} v^{k+1} &=\mathcal{R}^{\pi}+\gamma \mathcal{P}^{\pi} v^{k} \end{aligned} $$
用直白一点的语言描述：基于一种策略$\pi$，不断地对state value迭代。比如：你当前在清华大学计算机系读博士，你的state-value是什么？是你对以后进入大厂、以后工资、生活条件有一个较好的预期。如上公式所述，当前的state-value是由对后继状态的state-value估计所构成。
或者用策略(Policy)直接与环境互动就可以得到它的值函数，数学表达形式如下：
$$ E_{\pi}(s) = \mathbb{E}\left[ R_{t+1}+\gamma R_{t+2} + \cdots | S_{t}=s\right] $$
策略评估步骤
那更具体策略评估(Policy Evaluation)的步骤是什么样子的呢？我们看一下算法伪代码：
这里就是拿着一个策略一直进行迭代，直到值函数收敛。
策略迭代
策略迭代法（Policy Iteration method）是动态规划中求最优策略的基本方法之一。它借助于动态规划基本方程，交替使用“求值计算”和“策略改进”两个步骤，求出逐次改进的、最终达到或收敛于最优策略的策略序列。
我们发现如果想知道最优的策略，就需要能够准确估计值函数。然而想准确估计值函数，又需要知道最优策略，数字才能够估计准确。所以实际上这是一个“鸡生蛋还是蛋生鸡”的问题。
一般的策略迭代法的思路可总结为以下三个步骤：
- 以某种策略$\pi$开始，计算当前策略下的值函数$v_{\pi}(s)$。
- 利用这个值函数，更新策略，得到$\pi^{*}$。
- 再用这个策略$\pi^{*}$继续前行，更新值函数，得到$v_{\pi}^{\prime}(s)$，一直到$v_{\pi}(s)$不在发生变化。
第一步就是上文说的策略评估(Policy Evaluation)
第二步是如何更新策略的呢？
大体思想是在当前策略的基础上，贪婪地选取行为，使得后继状态价值增加最多。Improve the policy by acting greedily with respect to $v_{\pi}$。
$$ \pi^{\prime} = greedy(v_{\pi}) $$
这个计算最优策略的过程，称为--策略提升(Policy Improvement)
策略迭代步骤
那更具体策略迭代法（Policy Iteration method）的步骤是什么样子的呢？我们看一下算法伪代码：
这里是将策略评估(Policy Evaluation)和策略提升 (Policy Improvement)结合起来，进行迭代，直到策略收敛。
策略迭代有点缺点，策略迭代的主要时间都花费在策略评估上，对一个简单的问题来说，在策略评估上花费的时间不算长；但对复杂的问题来说，这个步骤的时间实在有些长。一个最直接的想法就是，我们能不能缩短在策略评估上花的时间呢？有，就是价值迭代
值迭代
理解价值迭代原理的思路，可以从策略迭代的缺点出发。
- 策略迭代的策略评估需要值函数完全收敛才进行策略提升的步骤，能不能对策略评估的要求放低，这样如果可以实现的话，速度会有所提升。
- 我们在策略迭代中关注的是最优的策略，如果说我们找到一种方法，让最优值函数和最优策略同时收敛，那样我们就可以只关注值函数的收敛过程，只要值函数达到最优，那策略也达到最优，值函数没有最优，策略也还没有最优。这样能简化了迭代步骤。
我们的问题是寻找最优策略$\pi$，值迭代的解决方案是：使用贝尔曼最优方程，将策略改进视为值函数的改进，每一步都求取最大的值函数。具体的迭代公式如下所示：
$$ v_{k+1}(s)=\max_{a \in \mathcal{A}}\left(R_{s}^{a}+\gamma \sum_{s^{\prime} \in S}\mathcal{P}_{ss^{\prime}}^{a}v_{k}(s^{\prime})\right) $$
上面这个公式与策略迭代相比，没有等到状态价值收敛才去调整策略，而是随着状态价值的迭代，及时调整策略，这样就大大减少了迭代的次数。
也就是说从初始状态值函数开始同步迭代计算，最终收敛，整个过程中没有遵循任何策略。
上述公式的理解可以参考下面这个推导：
由于策略的调整，我们现在的价值每次更新。倾向于贪婪法寻找到最优策略对应的后续的状态价值。这样收敛的速度会更快。
在值迭代过程中，算法不会给出明确的策略，迭代过程其间得到的价值函数不对应任何策略。
异步动态规划
异步动态规划有几个研究的点：
- In-place dynamic programming
原位动态规划，所谓的原位动态规划指的是原地更新下一个状态的状态值，而不像同步迭代那样存储新的状态值。在这种情况下，按何种次序更新状态价值有时候会更有意义。
- Prioritised sweeping
重要状态优先更新，对那些重要的状态优先更新，一般使用td-error(反映的是当前的状态价值与更新后的状态j价值差的绝对值)来确定哪些状态是比较重要的。误差越大越需要优先更新。
- Real-time dynamic programming
实时动态规划，更新那些仅与个体关系密切的状态。同时使用个体经验来指导更新状态的选择，有些状态理论上存在，但是在现实生活中基本上不会出现，利用已有的现实经验，对于那些个体实际经历过的状态进行价值更新。这样个体经常访问过的状态得到较高品质的更新。个体较少访问的状态，其价值更新的机会就比较少，收敛速度会相对慢一点。
动态规划总结
- 预测问题：就是指在给定策略下，迭代计算价值函数。预测问题的求解主要是通过
Bellman Expectation Equation进行Iterative或者Policy Evaluation。 - 控制问题-策略迭代：是指策略迭代，寻找最优策略问题。在先给定策略，或随机策略下计算状态价值函数，根据状态函数，采用贪婪算法来更新策略，多次反复找到最优策略。主要是通过
Bellman Expectation Equation和Greedy Policy Improvement进行Policy Iteration。 - 控制问题-值迭代：单纯的使用价值策略，全程没有策略参与，也可以获得最优策略。但是我们需要知道状态的转移矩阵。通过
Bellman Optimal Equation进行Value Iteration。
基于state-value function($v_{\pi}(s)$)每一次Iteration的 Complexity为$O(mn^{2})$，其中$m$表示action space，$n$表示state space。
基于state-action value function ($q_{\pi}(s,a)$)每一次Iteration的 Complexity为$O(m^{2}n^{2})$，其中$m$表示action space，$n$表示state space。
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