- 论文题目：Maximum Entropy Monte-Carlo Planning
所解决的问题？
- 作者提出了一个新的
stochastic softmax bandit框架； - 将其扩展到
MCTS上，得到了Maximum Entropy for Tree Search (MENTS)算法。
将softmax state value 引入，在back-propaganda过程中会更容易收敛。作者在理论和实验部分都验证了这两个想法。
背景
MCTS
Monte Carlo Tree Search (MCTS) 是一种非常好的能够获取全局最优的算法，同时也可以通过引入先验知识对其进行加强。它的核心问题在于exploitation和exploration的平衡。而MCTS的收敛性高度依赖于state value 的 estimation。而MCTS通过simulation获得当前状态的估计这种做法并不是非常高效，因此在sample的过程中你的policy会发生改变，导致你的序列期望收益会发生漂移(drift)，因此 UCT can only guarantee a polynomial convergence rate of finding the best action at the root。MCTS主要可以分为两步：1. tree policy选择action，直到到达叶子节点。2. 一个evaluation function需要评估simulation return，你可以选择近函数近似的方式来逼近这个值，但是在MCTS中采用的是roll-out policy获取simulation return。
maximum upper confidence bound(UCB)算法用于平衡探索和利用：
$$\operatorname{UCB}(s, a)=Q(s, a)+c \sqrt{\frac{\log N(s)}{N(s, a)}}$$
其中$N(s)=\sum_{a}N(s,a)$，$c$是控制exploration的参数。
Maximum Entropy Policy Optimization
最大熵的策略优化问题其实就是在expected reward目标上引入一个entropy的约束。可表示为：
$$\max _{\pi}\{\pi \cdot \mathbf{r}+\tau \mathcal{H}(\pi)\}$$
其中$\tau$是控制exploration的参数。定义softmax $\mathcal{F_{\tau}}$和soft indmax $\mathbf{f}_{\tau}$：
$$\mathbf{f}_{\tau}(\mathbf{r})=\exp \left\{\left(\mathbf{r}-\mathcal{F}_{\tau}(\mathbf{r})\right) / \tau\right\} $$
$$\quad \mathcal{F}_{\tau}(\mathbf{r})=\tau \log \sum_{a} \exp (r(a) / \tau)$$
其中的关系为：
$$\mathcal{F}_{\tau}(\mathbf{r})=\max _{\pi}\{\pi \cdot \mathbf{r}+\tau \mathcal{H}(\pi)\}=\mathbf{f}_{\tau}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{r}+\tau \mathcal{H}\left(\mathbf{f}_{\tau}(\mathbf{r})\right)$$
因此用softmax value function去替代hard-max operator可以得到softmax operator：
$$Q_{\mathrm{sft}}^{*}(s, a)=R(s, a)+\mathbb{E}_{s^{\prime} | s, a}\left[V_{\mathrm{sft}}^{*}\left(s^{\prime}\right)\right]$$
$$V_{\mathrm{sft}}^{*}(s)=\tau \log \sum_{a} \exp \left\{Q_{\mathrm{sft}}^{*}(s, a) / \tau\right\}$$
最后可以得到optimal softmax policy：
$$\pi_{\mathrm{sft}}^{*}(a | s)=\exp \left\{\left(Q_{\mathrm{sft}}^{*}(s, a)-V_{\mathrm{sft}}^{*}(s)\right) / \tau\right\}$$
Softmax Value Estimationin Stochastic Bandit
在stochastic bandit中，环境给定的reward是随机的，或者说会满足一个分布。stochastic softmax bandit 问题与传统的stochastic bandits问题的区别在于，它不是期望去找到最大化期望奖励的policy，而是去估计softmax value $V_{sft}^{*} = \mathcal{F}_{\tau}(\mathbf{r})$。定义$U_{t}=\sum_{a} \exp \left\{\hat{r}_{t}(a) / \tau\right\}$，$U^{*}=\sum_{a} \exp \left\{r_{t}(a) / \tau\right\}$。因此会有$V_{t} = \mathcal{F}_{\tau}(\hat{r}_{t})=\tau logU_{t}$，我们的目标就变成了最小化均方差误差$\mathcal{E}$。
$$\mathcal{E}_{t}=\mathbb{E}\left[\left(\hat{U}^{*}-U_{t}\right)^{2}\right]$$
基于上述讨论作者提出了一种解决序贯决策中softmax value估计的办法(Empirical Exponential Weight (E2W) )，直观的理解就是期望足够的探索用于保证得到较好的估计值，进而使得policy收敛于最优策略$\pi^{*}$。动作的采样分布如下所示：
$$\pi_{t}(a)=\left(1-\lambda_{t}\right) \mathbf{f}_{\tau}(\hat{\mathbf{r}})(a)+\lambda_{t} \frac{1}{|\mathcal{A}|}$$
其中 $\lambda_{t}=\varepsilon|\mathcal{A}| / \log (t+1)$，表示探索的衰减系数。
所采用的方法？
作者将MCTS和maximum entropy policy结合起来，得到MENTS算法，能够获得更快的收敛速度。两点创新：
- 使用
E2W算法作为树搜索的策略；
$$\pi_{t}(a | s)=\left(1-\lambda_{s}\right) \mathbf{f}_{\tau}\left(\mathbf{Q}_{\mathrm{sft}}(s)\right)(a)+\lambda_{s} \frac{1}{|\mathcal{A}|}$$
- 使用
softmax value评估每个节点并用于simulations的反向传播。
其中Q-Value的估计使用softmax backup。
$$Q_{\mathrm{sft}}\left(s_{t}, a_{t}\right)=\left{\begin{array}{ll}
r\left(s_{t}, a_{t}\right)+R & t=T-1 \
r\left(s_{t}, a_{t}\right)+\mathcal{F}_{\tau}\left(\mathrm{Q}_{\mathrm{sft}}\left(s_{t+1}\right)\right) & t<T-1
\end{array}\right.$$
取得的效果？
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