时间序列预测:探索性数据分析和特征工程的实用指南

时间序列分析是数据科学和机器学习领域最广泛的主题之一:无论是预测金融事件、能源消耗、产品销售还是股票市场趋势，这一领域一直是企业非常感兴趣的领域。

随着机器学习模型的不断进步，使除了传统的统计预测方法(如回归模型、ARIMA模型、指数平滑)外，与机器学习(如基于树的模型)和深度学习(如LSTM网络、cnn、基于Transformer的模型)相关的技术已经出现了一段时间。

尽管这些技术之间存在巨大差异，但无论模型是什么，都必须完成一个初步步骤:探索性数据分析。

在统计学中，探索性数据分析(Exploratory Data Analysis, EDA)是对数据进行分析和可视化，以总结数据的主要特征并从中获得相关信息的一门学科。这在数据科学领域非常重要，因为它可以为另一个重要步骤奠定基础:特征工程。

所以我们今天这篇文章将总结一个时间序列数据的分析模板，可以总结和突出数据集的最重要特征。我们将使用一些常见的Python库，如Pandas、Seaborn和Statsmodel。

为了方便演示，将使用Kaggle的小时能耗数据。该数据集与PJM小时能源消耗数据有关，PJM是美国的一个区域输电组织，为几个州提供电力。每小时的电力消耗数据来自PJM的网站，单位是兆瓦。

我在本文中我们将EDA总结为六个步骤:描述性统计、时间图、季节图、箱形图、时间序列分解、滞后分析。

描述性统计

描述性统计是一种汇总统计，用于定量地描述或总结结构化数据集合中的特征。

一些通常用于描述数据集的度量是:集中趋势度量(例如平均值，中位数)，分散度量(例如范围，标准差)和位置度量(例如百分位数，四分位数)。所有这些都可以用所谓的五数总结来概括，即分布的最小值、第一四分位数(Q1)、中位数或第二四分位数(Q2)、第三四分位数(Q3)和最大值。

在Python中，这些信息可以使用Pandas中众所周知的describe方法轻松检索:

 import pandas as pd
 
 # Loading and preprocessing steps
 df = pd.read_csv('../input/hourly-energy-consumption/PJME_hourly.csv')
 df = df.set_index('Datetime')
 df.index = pd.to_datetime(df.index)
 
 df.describe()

时间曲线图

最明显且直观的图表是时间图。观测结果是根据观测时间绘制的，连续的观测结果用线条连接起来。

在Python中，我们可以使用Pandas和Matplotlib:

 import matplotlib.pyplot as plt
 
 # Set pyplot style
 plt.style.use("seaborn")
 
 # Plot
 df['PJME_MW'].plot(title='PJME - Time Plot', figsize=(10,6))
 plt.ylabel('Consumption [MW]')
 plt.xlabel('Date')

这张图可以为我们提供一下的信息:

模式显示出每年的季节性。
如果只关注一年，似乎会发现更多的规律。由于用电量较大，冬季和夏季的用电量可能会出现高峰。
这个数据多年来没有明显的增加/减少趋势，平均消费量保持平稳。
2013年前后有一个异常值，可以进行特殊的分析

季节性

季节性图基本上是一个时间图，其中数据是根据它们所属的系列的各个“季节”绘制的。

关于能源消耗，我们通常有每小时可用的数据，因此可以有几个季节性:每年，每周，每天。在深入研究这些图之前，让我们首先在Pandas中设置一些变量:

 # Defining required fields
 df['year'] = [x for x in df.index.year]
 df['month'] = [x for x in df.index.month]
 df = df.reset_index()
 df['week'] = df['Datetime'].apply(lambda x:x.week)
 df = df.set_index('Datetime')
 df['hour'] = [x for x in df.index.hour]
 df['day'] = [x for x in df.index.day_of_week]
 df['day_str'] = [x.strftime('%a') for x in df.index]
 df['year_month'] = [str(x.year) + '_' + str(x.month) for x in df.index]

1、年消耗量

一个非常有趣的图是按年按月分组的能源消耗，这突出了年度季节性，可以告诉我们多年来的上升/下降趋势。

 import numpy as np
 
 # Defining colors palette
 np.random.seed(42)
 df_plot = df[['month', 'year', 'PJME_MW']].dropna().groupby(['month', 'year']).mean()[['PJME_MW']].reset_index()
 years = df_plot['year'].unique()
 colors = np.random.choice(list(mpl.colors.XKCD_COLORS.keys()), len(years), replace=False)
 
 # Plot
 plt.figure(figsize=(16,12))
 for i, y in enumerate(years):
     if i > 0:        
         plt.plot('month', 'PJME_MW', data=df_plot[df_plot['year'] == y], color=colors[i], label=y)
         if y == 2018:
             plt.text(df_plot.loc[df_plot.year==y, :].shape[0]+0.3, df_plot.loc[df_plot.year==y, 'PJME_MW'][-1:].values[0], y, fontsize=12, color=colors[i])
         else:
             plt.text(df_plot.loc[df_plot.year==y, :].shape[0]+0.1, df_plot.loc[df_plot.year==y, 'PJME_MW'][-1:].values[0], y, fontsize=12, color=colors[i])
 
 # Setting labels
 plt.gca().set(ylabel= 'PJME_MW', xlabel = 'Month')
 plt.yticks(fontsize=12, alpha=.7)
 plt.title("Seasonal Plot - Monthly Consumption", fontsize=20)
 plt.ylabel('Consumption [MW]')
 plt.xlabel('Month')
 plt.show()

这张图显示，每年都有一个预定义的模式:冬季消耗显著增加，夏季达到峰值(由于供暖/制冷系统)，而春季和秋季通常不需要供暖或制冷时消耗最小。这张图还告诉我们，在多年的总消费量中，并没有明显的增加/减少模式。

2、周消耗量

另一个有用的图表是每周图表，它描述了几个月来每周的消费情况，还可以表明每周在一年内是否以及如何变化。

 # Defining colors palette
 np.random.seed(42)
 df_plot = df[['month', 'day_str', 'PJME_MW', 'day']].dropna().groupby(['day_str', 'month', 'day']).mean()[['PJME_MW']].reset_index()
 df_plot = df_plot.sort_values(by='day', ascending=True)
 
 months = df_plot['month'].unique()
 colors = np.random.choice(list(mpl.colors.XKCD_COLORS.keys()), len(months), replace=False)
 
 # Plot
 plt.figure(figsize=(16,12))
 for i, y in enumerate(months):
     if i > 0:        
         plt.plot('day_str', 'PJME_MW', data=df_plot[df_plot['month'] == y], color=colors[i], label=y)
         if y == 2018:
             plt.text(df_plot.loc[df_plot.month==y, :].shape[0]-.9, df_plot.loc[df_plot.month==y, 'PJME_MW'][-1:].values[0], y, fontsize=12, color=colors[i])
         else:
             plt.text(df_plot.loc[df_plot.month==y, :].shape[0]-.9, df_plot.loc[df_plot.month==y, 'PJME_MW'][-1:].values[0], y, fontsize=12, color=colors[i])
 
 
 # Setting Labels
 plt.gca().set(ylabel= 'PJME_MW', xlabel = 'Month')
 plt.yticks(fontsize=12, alpha=.7)
 plt.title("Seasonal Plot - Weekly Consumption", fontsize=20)
 plt.ylabel('Consumption [MW]')
 plt.xlabel('Month')
 plt.show()

3、每日消费量

最后，我们看看每日消费量。它代表了一天中消费的变化。数据首先按星期进行分组，然后按平均值进行汇总。

 import seaborn as sns
 
 # Defining the dataframe
 df_plot = df[['hour', 'day_str', 'PJME_MW']].dropna().groupby(['hour', 'day_str']).mean()[['PJME_MW']].reset_index()
 
 # Plot using Seaborn
 plt.figure(figsize=(10,8))
 sns.lineplot(data = df_plot, x='hour', y='PJME_MW', hue='day_str', legend=True)
 plt.locator_params(axis='x', nbins=24)
 plt.title("Seasonal Plot - Daily Consumption", fontsize=20)
 plt.ylabel('Consumption [MW]')
 plt.xlabel('Hour')
 plt.legend()

这张图显示了一个非常典型的模式，有人称之为“M轮廓”，因为日消耗似乎描绘了一个“M”。有时这种模式是清晰的

这些图通常在一天的中间(从上午10点到下午2点)显示一个相对峰值，然后是一个相对最小值(从下午2点到下午6点)和另一个峰值(从下午6点到晚上8点)。它还显示了周末和其他日期的消费差异。

4、特征工程

我们如何将这些信息用于特征工程呢？假设我们正在使用一些需要高质量特征的ML模型(例如ARIMA模型或基于树的模型)。

年消费量多年来变化不大这表明如果可能的话，可以使用来自滞后或外生变量的年季节性特征。
每周消费在几个月内遵循相同的模式，可以使用来自滞后或外生变量的每周特征。
每天的消费可以使用工作日和周末的分类特征来进行编码

箱线图

箱线图是识别数据分布的有效方法。箱线图描绘了百分位数，它代表了分布的第一个(Q1)、第二个(Q2/中位数)和第三个(Q3)四分位数，而箱须则代表了数据的范围。超过须的每一个值都可以被认为是一个离群值，更深入地说，须通常被计算为:

让我们首先计算总消耗的箱线图，这可以很容易地在Seaborn中完成:

 plt.figure(figsize=(8,5))
 sns.boxplot(data=df, x='PJME_MW')
 plt.xlabel('Consumption [MW]')
 plt.title(f'Boxplot - Consumption Distribution');

这个图看起来没有多少信息，但是它能告诉我们数据是一个类似高斯分布的分布，尾巴更向右突出。

下面是日/月箱形图。它是通过创建一个“日/月”变量并根据它对消费进行分组而获得的。以下是2017年以后的代码

 df['year'] = [x for x in df.index.year]
 df['month'] = [x for x in df.index.month]
 df['year_month'] = [str(x.year) + '_' + str(x.month) for x in df.index]
 
 df_plot = df[df['year'] >= 2017].reset_index().sort_values(by='Datetime').set_index('Datetime')
 plt.title(f'Boxplot Year Month Distribution');
 plt.xticks(rotation=90)
 plt.xlabel('Year Month')
 plt.ylabel('MW')
 
 sns.boxplot(x='year_month', y='PJME_MW', data=df_plot)
 plt.ylabel('Consumption [MW]')
 plt.xlabel('Year Month')

可以看到，在夏季/冬季(即当我们有高峰时)的不确定性较小，而在春季/秋季(即当温度变化较大时)则更加分散。2018年夏季的消费量高于2017年，这可能是由于夏季更温暖。当进行特征工程时，记得包括(如果可用的话)温度曲线，可能它可以用作外生变量。

另一个有用的图是一周内的分布，这类似于每周消费季节性图。

 df_plot = df[['day_str', 'day', 'PJME_MW']].sort_values(by='day')
 plt.title(f'Boxplot Day Distribution')
 plt.xlabel('Day of week')
 plt.ylabel('MW')
 sns.boxplot(x='day_str', y='PJME_MW', data=df_plot)
 plt.ylabel('Consumption [MW]')
 plt.xlabel('Day of week')

如前所述，周末的消费明显较低。有几个异常值能够看到，像“星期几”这样的日历特征肯定是有用的，但又不能完全解释。

最后我们来看小时图。它类似于日消费季节性图，因为它提供了一天中消费的分布情况。代码如下:

 plt.title(f'Boxplot Hour Distribution');
 plt.xlabel('Hour')
 plt.ylabel('MW')
 sns.boxplot(x='hour', y='PJME_MW', data=df)
 plt.ylabel('Consumption [MW]')
 plt.xlabel('Hour')

之前看到的“M”形现在更碎了。此外，还有很多异常值，这告诉我们数据不仅依赖于日常季节性(例如，今天12点的消费量与昨天12点的消费量相似)，还依赖于其他一些东西，可能是一些外生气候特征，如温度或湿度。

时间序列分解

时间序列数据可以显示各种模式。将时间序列分成几个组件是有帮助的，每个组件表示一个潜在的模式类别。

我们可以认为一个时间序列由三个部分组成:趋势部分，季节部分和剩余（偏差）部分(包含时间序列中的任何其他部分)。对于某些时间序列(例如，能源消耗序列)，可以有多个季节分量，对应于不同的季节周期(日、周、月、年)。

分解有两种主要类型:加性分解和乘法分解。

对于加性分解，我们将一个序列(整数)表示为季节分量(𝑆)、趋势分量(𝑇)和余数(𝑅)的和:

类似地，乘法分解可以写成:

一般来说，加性分解最适合方差恒定的序列，而乘法分解最适合方差非平稳的时间序列。

在Python中，时间序列分解可以通过Statsmodel库轻松实现:

 df_plot = df[df['year'] == 2017].reset_index()
 df_plot = df_plot.drop_duplicates(subset=['Datetime']).sort_values(by='Datetime')
 df_plot = df_plot.set_index('Datetime')
 df_plot['PJME_MW - Multiplicative Decompose'] = df_plot['PJME_MW']
 df_plot['PJME_MW - Additive Decompose'] = df_plot['PJME_MW']
 
 # Additive Decomposition
 result_add = seasonal_decompose(df_plot['PJME_MW - Additive Decompose'], model='additive', period=24*7)
 
 # Multiplicative Decomposition 
 result_mul = seasonal_decompose(df_plot['PJME_MW - Multiplicative Decompose'], model='multiplicative', period=24*7)
 
 # Plot
 result_add.plot().suptitle('', fontsize=22)
 plt.xticks(rotation=45)
 result_mul.plot().suptitle('', fontsize=22)
 plt.xticks(rotation=45)
 plt.show()

以上图为2017年的数据。我们看到趋势有几个局部峰值，夏季的值更高。从季节成分来看，可以看到实际上有几个周期性，该图更突出了周周期性，但如果我们关注同年的一个特定月份(1月)，也会出现日季节性:

 df_plot = df[(df['year'] == 2017)].reset_index()
 df_plot = df_plot[df_plot['month'] == 1]
 df_plot['PJME_MW - Multiplicative Decompose'] = df_plot['PJME_MW']
 df_plot['PJME_MW - Additive Decompose'] = df_plot['PJME_MW']
 
 df_plot = df_plot.drop_duplicates(subset=['Datetime']).sort_values(by='Datetime')
 df_plot = df_plot.set_index('Datetime')
 
 # Additive Decomposition
 result_add = seasonal_decompose(df_plot['PJME_MW - Additive Decompose'], model='additive', period=24*7)
 
 # Multiplicative Decomposition 
 result_mul = seasonal_decompose(df_plot['PJME_MW - Multiplicative Decompose'], model='multiplicative', period=24*7)
 
 # Plot
 result_add.plot().suptitle('', fontsize=22)
 plt.xticks(rotation=45)
 result_mul.plot().suptitle('', fontsize=22)
 plt.xticks(rotation=45)
 plt.show()

滞后分析

在时间序列预测中，滞后仅仅是序列的过去值。例如，对于每日序列，第一个滞后是指该序列前一天的值，第二个滞后是指再前一天的值，以此类推。

滞后分析是基于计算序列和序列本身的滞后版本之间的相关性，这也称为自相关。对于一个序列的k滞后版本，我们定义自相关系数为:

其中y 表示序列的平均值，k表示滞后值。

自相关系数构成了序列的自相关函数(ACF)，描绘了自相关系数与考虑的滞后数的关系。

当数据具有趋势时，小滞后的自相关通常很大且为正，因为时间上接近的观测值在值上也相近。当数据显示季节性时，季节性滞后（及其季节周期的倍数）的自相关值会比其他滞后的大。具有趋势和季节性的数据将显示这些效应的组合。

在实践中，更有用的函数是偏自相关函数（PACF）。它类似于ACF但是它只显示两个滞后之间的直接自相关。例如，滞后3的偏自相关指的是滞后1和2无法解释的唯一相关性。或者说偏相关指的是某个滞后对当前时间值的直接影响。

如果序列是平稳的，则自相关系数会更清晰地显现，因此通常最好先对序列进行差分以稳定信号。

下面是绘制一天中不同时段PACF的代码:

 from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf
 
 actual = df['PJME_MW']
 hours = range(0, 24, 4)
 
 for hour in hours:
     plot_pacf(actual[actual.index.hour == hour].diff().dropna(), lags=30, alpha=0.01)
     plt.title(f'PACF - h = {hour}')
     plt.ylabel('Correlation')
     plt.xlabel('Lags')
     plt.show()