WaveNet是2016年Google DeepMind 提出的一种Neural Vocoder 架构，模型主体为一个基于空洞因果卷积(Dilated Causal Convolution)的概率模型。即基于Condition(Mel Spectrogram)，以及之前时间节点的语音生成一个概率分布，再采样得到下一采样点。反复执行该步骤，最后得到完整语音。
本文的目标是以可复现为目标的讲述WaveNet的模型结构，以及推断(Inference)过程。并且着重叙述空洞卷积(Dilated Conv)残差块，因为之后很大一部分Neural Vocoder都会使用这个组件。讲述当中会有部分个人看法，见谅(仅仅是个人对模型结构设计的猜测)。
一、WaveNet 初衷
WaveNet的出发点十分简单，即当前采样点的概率分布依赖于之间时间点，换言之，我们可以用之前采样点作为条件的概率分布来描述当前时间点。从宏观角度（也就整段语音）来说，语音的概率分布实际就是每个时间点的条件概率分布的联合分布。可以引用论文中的公式：
其中x_t表示，时间点t对应的语音采样点。需要注意下文中使用的都是采样率固定的语音的离散表达形式。
基于这个想法出发，WaveNet的核心思路就转换成了对于每个采样点的条件概率分布建模，这里的条件(Condition)既包括了之前时间点，也包括对应时间的语音学特征（这里使用Mel Spectrogram）。
所以现在问题有二，1 这个模型的结构是什么样的。 2 推断（inference）过程是如何对对应采样点从概率分布中采样的。
二、 模型结构
1 模型框架
WaveNet的模型结构部分参照PixelCNN，训练通过 对数似然估计 （log-likelihoods） 学习参数。模型结构十分简单：
可以看到模型主体是 k层网络块，通过Skip-connections 以及两个激活函数和1x1卷积层，最后加上Softmax层。
先需要确保除去Causal Conv, Dilated Conv, Skip-connections,是能够理解这个模型的。
当然 残差（Residual）这种模型方法是极为常见的，可以抽象概括为 在模型块的输出中额外加上模型块的输入，即 f(x) = x + g(x) 其中 g(.) 就是模型块。残差(Residual) 其实就是那个加号，就这么简单。好处是避免层数过深，参数无法训练。
然后剩下的就是ReLU激活函数和Softmax层了，这两个函数是不带可训练参数的，是两个结构数值都固定的函数。就是两个固定函数。
那么下文开始介绍比较有特色的Causal Conv, Dilated Conv, Skip-connections 结构，实际从数学角度来说，这三个东西比Residual，ReLU激活函数和Softmax层 好理解得多的多。
2 空洞因果卷积(Dilated Causal Convolution)
这种卷积层有两个前缀，一个Dilated， 一个Causal，先考虑因果(Causal)这个前缀。从语义理解得角度来说，因果卷积实际就是考虑到时序得因果关系得卷积。需要注意这里要考虑的是一维卷积，毕竟时间轴只有一条。
我们可以从图中看出这卷积的输出只依赖之前时间点的输入。举个例子，第一层隐藏层在时间下标为 t 的输出只依赖 时间 t-1 和时间 t 的输入，转成数学语言就是 hidden out = f(x_{t-1}, x_t) 。
那么我们能不能跳着使用之前的时间节点呢，毕竟只使用t-1 时间点感觉"看"得很窄，感受野很小。如果使用 t-2 时间点 或 t-4时间点呢？ 这其实就是空洞卷积(Dilated Conv)的想法了。
其中的 t-d 中的 d就是Dilation，也就是需要跳跃的时间间隔。 计算过程中我们可以每层都使用不同的Dilation(一般是逐步加大)，这样感受野就大幅扩大，尤其对于语音这种前后时间依赖极强的实例非常有效。
3 跳步连接（Skip-connections）
Skip-connections 其实和残差方法极为类似，将各隐藏层的隐藏特征累加起来作为最后输出，实际表达为 ： output = hidden_out1 + hidden_out2 + … + hidden_outn。
这样的好处是加速网络训练，同时防止网络过深导致的部分层的梯度消失。个人理解其实除了这些Skip-connections单独优势，还有个和空洞卷积Dilated conv 联合的作用。
模型中的每个卷积块使用的空洞卷积的Dilation实际是不同的，对于语音来说不同的Dilation可以等效于聚焦不同的频率，也就是说每个卷积块的关注的频率被人为的逐层过滤了，然后再通过 Skip-connections 进行整合。预测下一时间点的概率分布。 Skip-connections这里也起到了整合分频带的作用。
4 激活函数
这里说激活函数是说残差块内的激活函数，这里使用的是 tanh 和sigmoid的乘积。 不使用ReLU是可以理解的，因为ReLU的输出只有正数，而语音波形有正有负，所以不能使用ReLU。
WaveNet使用了两个激活函数作为代替的目的是想要进行分工，sigmoid负责学习振幅，tanh负责学习相位和频率。这一步倒是十分贴合一些传统的Vocoder方法。理想情况下对于不同频率下的相位和振幅建模，该点也是证明上述中 Skip-connections这里也起到了整合分频带的作用 的佐证之一。
5 条件(Condition)添加
上述过程中只讲述了输入是之前语音序列的情况，模型的输入为序列x， x为时间点t之前的语音序列。实际上我们不能单单通过之前的语音预测下一个点，就比方说如果单独输入一个 “我”字，是无法预测到底是“我吃饭”还是“我睡觉”的，所以还需要添加一个条件(Condition)来限制预测方向。
对于Vocoder来说这个条件就是频谱特征，比较常用的是Mel Spectorgram。这个特征以帧为单位变化。这样就可以正确的指定预测方向了。
现在问题就变成了如何添加Conditon。WaveNet的方法是在激活函数 tanh和sigmoid之前添加condition，在直接加上condition之前还可以稍稍变换下condition。因而让condition通过一个1x1卷积层，然后加入激活函数。可写为：
其中 x 为之前时间的语音，h为condition输入， V就是1x1卷积层参数，W是空洞因果卷积，z是输出。
三、 推断（Inference）
也许看到这里大部分人认为Inference的部分没必要讲了，这一部分主要是针对对于概率模型inference不太熟悉的读者。
关键点是千万不要认为Softmax后的输出就是当前时间采样点的数值！
千万不要认为Softmax后的输出就是当前时间采样点的数值！
千万不要认为Softmax后的输出就是当前时间采样点的数值！
还记得在开头说的，WaveNet的输出是个概率模型吗。这里提供两种inference方法，一种是论文里的softmax后的概率模型，一种是高斯混合模型。
1 Softmax概率模型
这里涉及一个语音的知识先说明下：
语音的采样点存储方式一般是 16-bit Signed Integer PCM，也就是一个16比特的整数，但这样概率模型就相当于有65536种可能性，这样概率模型的就需要输出65536维概率。这非常不现实。所以需要采样点的量化，这里使用的是mu-law 量化方式，量化后可以将采样点表示为8比特的整数，也就是下降到了256种可能性，这样就比较好计算了。
每个数值的可能性可以通过Softmax计算，也就是我们每次得到256维的概率向量，代表的是量化后的数值的可能性，然后通过这个离散分布采样一个概率数值。
概率数值通过下式还原得到采样点数值。
2 高斯混合模型
这个模型也很好理解，假设我们建立的是三个高斯的高斯混合模型，那么如何表达这个模型呢？
简单，均值和方差能够确定一个高斯概率分布，那么三个均值和方差就能确定三个高斯的高斯混合模型。也就是六个参数就能够表达这个高斯混合模型了。
那么我们的输出预测就应该是6个靠近0的数（因为采样点取值范围在0附近），这六个数是表示高斯混合模型的参数。然后建立对应的高斯混合分布，再采样，就得到了当前时间的采样点。
实际操作中，WaveNet的模型输出也就是一个2N维的向量，对应的是N个高斯的高斯混合模型。
Reference
WaveNet: A Generative Model for Raw Audio
Conditional image generation with PixelCNN decoders
作者：一力徐羊
文章来源：知乎
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